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由Hurwitz和周期性Zeta函数组成的ZETA函数的值
The values of zeta functions composed by the Hurwitz and periodic zeta functions at integers
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论文摘要
对于$ s \ in {\ mathbb {c}} $和$ 0 <a <1 $，让$ζ（s，a）$和$ {\ rm {li}} _ s（e^{2πia}）$ be hurwitz和定期zeta函数。对于$ 0 <a \ le 1/2 $，put $ z（s，a）：=ζ（s，a） +ζ（s，1-a）$，$ p（s，a）：= {\ rm {li}} _ s（e^{2πia}） $ y（s，a）：=ζ（s，a） - ζ（s，1 -a）$和$ o（s，a）：= -i \ bigl（{\ rm {li}} _ s（e^{2πia}） - 令$ n \ ge 0 $为整数，$ b：= r/q $，其中$ q> r> 0 $是coprime整数。在本文中，我们证明了$ z（-n，b）$，$π^{ - 2n-2} p（2n+2，b）$，$ y（-n，b）$和$π^{ - 2n-1} o（2n+1，b）$是合理数字，另外，此外，$π^{ - 2n-2} $ 2n-2} $ 2n-2} $（B） $π^{ - 2n-1} y（2n+1，b）$和$ o（-n，b）$是$ \ cos（2π/q）$的多项式和$ \ sin（2π/q）$，具有理性系数。此外，我们表明$ z（-n，a）$，$π^{ - 2n-2} p（2n+2，a）$，$ y（-n，a）$和$π^{ - 2n-1} o（2n+1，a）是$ 0 <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a <a的， z（2n+2，a）$，$ p（-n，a）$，$π^{ - 2n-1} y（2n+1，a）$和$ o（-n，a）$是具有合理系数的$ \ exp（2πia）$的合理函数。请注意，上述有理数，多项式和有理功能是明确给出的。 此外，我们表明$ p（s，a）\ equiv 0 $ for ahl $ 0 <a <1/2 $时，仅当$ s $是一个负数甚至整数。我们还证明了$ z（s，a）$，$ y（s，a）$，$ o（s，a）$等的类似断言。此外，我们证明函数$ z（s，| a |）$作为某些固定自相似的高斯分布的光谱密度出现。
For $s \in {\mathbb{C}}$ and $0 < a <1$, let $ζ(s,a)$ and ${\rm{Li}}_s (e^{2πia})$ be the Hurwitz and periodic zeta functions, repectively. For $0 < a \le 1/2$, put $Z(s,a) := ζ(s,a) + ζ(s,1-a)$, $P(s,a) := {\rm{Li}}_s (e^{2πia}) + {\rm{Li}}_s (e^{2πi(1-a)})$, $Y(s,a) := ζ(s,a) - ζ(s,1-a)$ and $O(s,a):= -i \bigl( {\rm{Li}}_s (e^{2πia}) - {\rm{Li}}_s (e^{2πi(1-a)}) \bigr)$. Let $n \ge 0$ be an integer and $b := r/q$, where $q>r>0$ are coprime integers. In this paper, we prove that the values $Z(-n,b)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,b)$, $Y(-n,b)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,b)$ are rational numbers, in addition, $π^{-2n-2} Z(2n+2,b)$, $P(-n,b)$, $π^{-2n-1} Y(2n+1,b)$ and $O(-n,b)$ are polynomials of $\cos (2π/q)$ and $\sin (2π/q)$ with rational coefficients. Furthermore, we show that $Z(-n,a)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,a)$, $Y(-n,a)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,a)$ are polynomials of $0<a<1$ with rational coefficient, in addition, $π^{-2n-2} Z(2n+2,a)$, $P(-n,a)$, $π^{-2n-1} Y(2n+1,a)$ and $O(-n,a)$ are rational functions of $\exp (2 πia)$ with rational coefficients. Note that the rational numbers, polynomials and rational functions mentioned above are given explicitly. Moreover, we show that $P(s,a) \equiv 0$ for all $ 0 < a < 1/2$ if and only if $s$ is a negative even integer. We also prove similar assertions for $Z(s,a)$, $Y(s,a)$, $O(s,a)$ and so on. In addition, we prove that the function $Z(s,|a|)$ appears as the spectral density of some stationary self-similar Gaussian distributions.
